Τέλειοι, ατελείς και υπέρ-τελείς αριθμοί

Κάθε φυσικός αριθμός έχει διαιρέτες, δηλαδή άλλους φυσικούς αριθμούς που αν τους διαιρέσουμε με τον αρχικό δίνουν υπόλοιπο μηδέν. Αθροίζουμε τους διαιρέτες ενός αριθμού, χωρίς να συμπεριλάβουμε τον ίδιο τον αριθμό στο άθροισμα. Με βάση το αποτέλεσμα της πρόσθεσης μπορούμε να χωρίσουμε τους φυσικούς αριθμούς σε τέλειους, ατελείς και υπερτελείς.

1. Τέλειος ονομάζεται ο φυσικός αριθμός ο οποίος ισούται με το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του.

 2. Ατελής ονομάζεται ο φυσικός αριθμός όταν το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του υπολείπεται του αριθμού.

3. Υπερτελής είναι ο αριθμός με άθροισμα των διαιρετών  μεγαλύτερο του αριθμού..

Παραδείγματα:

1. Ο αριθμός 6 είναι τέλειος αφού το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του ισούται με αυτόν πράγματι : 1 +2 + 3 = 6.

2. Ο αριθμός 12 είναι υπερτελής αφού 1+2+3+4+6=16 και 16 > 12

3. Ο αριθμός 8 είναι ατελής, αφού το άθροισμα των διαιρετών του είναι 1 + 2+ 4 = 7 και 7<8.

Οι τέλειοι αριθμοί είναι πολύ σπάνιοι αφού υπάρχουν μόνο 3 τέτοιοι αριθμοί μικρότεροι του 1000, ένας τέλειος μεταξύ 1001 – 10 000, ενώ μεταξύ 10 001 – 100 000 000 εντοπίζουμε μόνο ακόμα ένα τέλειο. Μέχρι σήμερα έχουν ανακαλυφθεί μερικές δεκάδες τέλειοι με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών, αφού οι μεγαλύτεροι από αυτούς έχουν εκατομμύρια ψηφία. Κανείς δεν έχει αποδείξει ως σήμερα αν ο αριθμός των τέλειων είναι άπειρος ή πεπερασμένος.

Ο Άγιος Αυγουστίνος αναφέρει ότι αν και ο Θεός μπορούσε να έχει δημιουργήσει τον κόσμο αμέσως, προτίμησε να τον δημιουργήσει σε 6 ημέρες, διότι η τελειότητα της εργασίας συμβολίζεται με τον τέλειο αριθμό 6.

Σχολιαστές της Παλαιάς Διαθήκης υποστήριξαν ότι η  τελειότητα του Σύμπαντος αντιπροσωπεύεται από τον αριθμό 28, που είναι ο αριθμός των ημερών που χρειάζεται το φεγγάρι για να κάνει μια περιφορά γύρω από την Γη