ΤΑ ΠΕΝΤΕ ΔΩΜΑΤΙΑ

Αυτός ο γρίφος είναι γνωστό ως ο «γρίφος των πέντε δωματίων» ή «ο γρίφος με τοίχους και γραμμές». Η προέλευση αυτού του προβλήματος είναι άγνωστη, αλλά για πρώτη φορά αναφέρετε το 1957 στο βιβλίο του Martin Gardner «Αμερικάνικο επιστημονικό βιβλίο των μαθηματικών προβλημάτων και εκτροπών» (τίτλος πρωτότυπου: Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions).

Το πάζλ περιγράφεται από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το οποίο χωρίζεται σε πέντε δωμάτια και ο σκοπός είναι με μία συνεχόμενη γραμμή να περάσετε από όλους τους τοίχους μία και μόνο φορά. Φυσικά μπορείτε να ξεκινήσετε και να τελειώσετε σε οποιοδήποτε δωμάτιο, ακόμα και έξω από το παραλληλόγραμμο, δεν υπάρχει κανένας περιορισμός σε αυτό, αρκεί να μην περάσετε δύο φορές από έναν τοίχο. Μια πιο βελτιωμένη έκδοση του γρίφου έχει στους τοίχους μια πόρτα η οποία μπορεί να προσπελαστεί  μόνο μία φορά. Δηλαδή έχουμε 5 δωμάτια με 16 πόρτες από τις οποίες μπορούμε να διαβούμε μόνο μία φορά.

Είτε ξεκινώντας και τελειώνοντας στο ίδιο δωμάτιο, είτε ξεκινώντας σε ένα δωμάτιο και τελειώνοντας σε ένα άλλο κάθε δωμάτιο θα πρέπει να έχει ζυγό αριθμό από πόρτες. Πρέπει πάντα να υπάρχει ένα ζεύγος από πόρτες, μία για να μπαίνεις και μία για να βγαίνεις αφού κάθε πόρτα μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο μία φορά.

Ας υποθέσουμε ότι ξεκινάμε από ένα δωμάτιο με μονό αριθμό θυρών, τότε είναι εφικτό να επισκεφτούμε τα άλλα τέσσερα δωμάτια αν και μόνο αν έχουν ζυγό αριθμό θυρών.  Έτσι από τα πέντε δωμάτια μόνο ένα πρέπει να έχει μόνο αριθμό θυρών (σημείο εκκίνησης κα τερματισμού της γραμμής) και όλα τα άλλα από ζυγό αριθμό θυρών. Με λίγα λόγια αυτό το τοπολογικό πρόβλημα δεν είναι επιλύσιμο και μαθηματικά αδύνατον να ολοκληρωθεί με μία διέλευση αφού περιέχει τρία δωμάτια με μονό αριθμό θυρών.

Αναλογικά με μία συνεχόμενη γραμμή για να μπεις και να βγεις από ένα δωμάτιο πρέπει να διαβείς δύο πόρτες. Εδώ έχουμε όμως τρία δωμάτια με μονό αριθμό θυρών που σημαίνει ότι η γραμμή θα πρέπει να τελειώσει σε ένα από αυτά (αφού μπορείς να μπεις αλλά όχι να βγεις). Οπότε μια γραμμή έχει δύο άκρα και όχι τρία πράγμα που καθιστά το γρίφο των πέντε δωματίων μαθηματικά άλυτο.

Ωστόσο αν κλίσουμε μια πόρτα (a) ή αν προσθέσουμε ένα δωμάτιο (b) τότε το πάζλ γίνεται επιλύσιμο αφού πληροί όλους τους παραπάνω κανόνες που αναφέραμε.

Η αδιαλυτότητα του γρίφου των πέντε δωματίων μπορεί να αποδειχθεί με τη θεωρία των γραφημάτων με κάθε δωμάτιο να είναι η κορυφή και κάθε τοίχος η πλευρά του σχήματος, όπως φαίνετε στο διπλανό σχήμα.

Στην πραγματικότητα, αυτό το πάζλ είναι παρόμοιο με το περίφημο "επτά γέφυρες του Κένιγκσμπεργκ" πρόβλημα χάρη στο οποίο ο διαπρεπής Ελβετός μαθηματικός Λέοναρντ Όιλερ έθεσε τα θεμέλια της θεωρίας των γραφημάτων. Η πόλη του Κένιγκσμπεργκ, στην Πρωσία χτίστηκε στον ποταμό Πρέγκελ, και περιλάμβανε δύο μεγάλα νησιά που συνδέονταν μεταξύ τους και με την ηπειρωτική χώρα με επτά γέφυρες. Το πρόβλημα είναι να αποφασίσει κατά πόσον είναι δυνατόν να ακολουθήσει μια διαδρομή που διασχίζει κάθε γέφυρα ακριβώς μια φορά και να επιστρέφει στο σημείο εκκίνησης. Δεν είναι δυνατόν: δεν υπάρχει μονοπάτι του Όιλερ. Η λύση αυτή θεωρείται ότι είναι το πρώτο θεώρημα της θεωρίας γραφημάτων, ειδικότερα της θεωρίας του επίπεδου γραφήματος.

Φυσικά όπως καταλαβαίνεται ο γρίφος των πέντε δωματίων είναι αδύνατων να λυθεί σε ένα χαρτί δύο διαστάσεων. Πρέπει να αναπαράγουμε το πρόβλημα σε ένα τοπολογικά ισοδύναμο τριών διαστάσεων. Αν υποθέσουμε πως το σχήμα είναι ένα σπίτι με πέντε δωμάτια και εμείς μπορούμε να κινηθούμε μέσα στο έδαφος (πίσω από το χαρτί). Τότε με ένα τούνελ (δύο τρύπες στο χαρτί) το πρόβλημα έχει λύση, με μοναδική προϋπόθεση το τούνελ να ξεκινάει ή να τελειώνει σε ένα από τα μεγάλα δωμάτια (αυτά με το μονό αριθμό θυρών)